model kurva

Model Kurva
Kurva Spline
• Memudahkan untuk menggambar bentuk kurva yang
kompleks
• Caranya dengan memasukkan rangkaian titik, dan kurva
akan terbentuk mengikuti rangkaian titik tersebut
• Titik-titik tersebut disebut titik kendali (control points)
• Kurva yang melewati tiap titik kendali disebut interpolasi
kurva spline (interpolating curve)
• Kurva yang melewati di dekat titik kendali namun tidak
melewati titik kendali disebut pendekatan kurva spline
(approximating curve)
• Untuk mengubah bentuk kurva, caranya dengan
memindahkan posisi titik kendali
Kurva Spline
Kurva Spline
• Contoh sederhana untuk pemahaman
cara kerja kurva spline : y = x2 (fungsi
polynomial)
Polynomial
• Y = a + bx + cx2 + dx3 + …
• Tingkat polynomial ditentukan oleh
koefisien tertinggi yang nilainya tidak nol
• Sebagai contoh, c nilainya tidak nol, d
bernilai nol, berarti fungsi polynomial
tingkat 2
Polynomial
• Tingkat 0 - Konstan - hanya a yang tidak
nol
• Konstan, didefinisikan dengan 1 titik
• Contoh : y = 3
Polynomial
• Tingkat 1 – Linear – b adalah koefisien
tertinggi yang nilainya tidak nol
• Garis, didefinisikan dengan 2 titik
• Contoh : y = 1 + 2x
Polynomial
• Tingkat 2 – Kuadrat – c adalah koefisien
tertinggi yang nilainya tidak nol
• Parabola, didefinisikan dengan 3 titik
• Contoh : y = 1 – 2x + x2
Polynomial
• Tingkat 3 – Kubik – d adalah koefisien
tertinggi yang nilainya tidak nol
• Kurva kubik, didefinisikan dengan 4 titik
• Paling banyak digunakan untuk membuat
kurva di komputer
• Contoh : y = -1 – 7/2x + 3/2x3
Contoh
• Titik kendali : (-1,2), (0,0), (1,-2), (2,0)
Kurva Bezier
• Banyak digunakan untuk desain kurva
• Mudah diimplementasikan
• Digunakan pada software CAD (contoh :
Corel Draw, GIMP, dll)
• Terdiri dari titik ujung dan titik kendali
• Interpolasi kurva pada titik ujung
• Kurva yang terbentuk berbasis pada posisi
titik ujung dan titik kendali
Kurva Bezier
• Dapat terdiri atas 4 titik, 2 titik sebagai titik
ujung (endpoints), 2 titik sebagai titik
kendali (control points)
• Pada contoh berikut, P0 dan P3 adalah
titik ujung, P1 dan P2 adalah titik kendali
Contoh
Contoh
• Contoh kurva bezier yang terdiri atas 3, 4 dan 5
titik
• Pada gambar a terdiri dari 3 titik, P0 dan P2
adalah titik ujung, P1 titik kendali
• Pada gambar b, c dan d terdiri dari 4 titik, P0
dan P3 sebagai titik ujung, P1 dan P2 sebagai
titik kendali
• Pada gambar e terdiri dari 5 titik, P0 dan P4
adalah titik ujung, P1, P2 dan P3 adalah titik
kendali
Kurva Bézier Linear
• Diketahui P0 and P1, kurva bezier linear
adalah garis lurus diantara kedua titik
tersebut
Ilustrasi: kurva linier
• Simbol t dalam fungsi
mendeskripsikan
seberapa jauh B(t)
dari P0 ke P1.
• Sebagai contoh
t=0.25, B(t) kira-kira
seperempat jalan dari
P0 ke P1.
• t bervariasi dari 0
sampai 1, B(t)
mendeskripsikan kurva
dari P0 ke P1.
Quadratic Bézier curves
• Dapat dirumuskan pada fungsi B(t),
dengan titik P0, P1, and P2,
• Berbentuk parabola
Kurva Bezier Kuadratik
• Ada tiga titik P0, P1, and P2, Kurva Bezier
Kuadratik dapat dirumuskan :
dimana 0 1
( ) (1 ) 2 (1 ) 2
1 2
2
0
£ £
= - + - +
t
x t P t Pt t P t
Kurva Bezier Kuadratik
• Titik P0, P1,
P2.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
P0
P1
P2
Kurva Bezier Kuadratik
• Titik P0, P1,
P2.
• Buat garis
dari :
• (1-t)P0 + tP1 ke
(1-t)P1 + tP2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
P0
P1
P2
(1-t)P0 + tP1
(1-t)P1 + tP2
Kurva Bezier Kuadratik
• Titik P0, P1,
P2.
• Buat garis
dari :
• (1-t)P0 + tP1 to
(1-t)P1 + tP2
• Titik x pada
kurva
(1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
P0
P1
P2
(1-t)P0 + tP1
(1-t)P1 + tP2
(1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2
Kurva Bezier Kuadratik
• Titik P0, P1,
P2.
• Buat garis
dari :
• (1-t)P0 + tP1 to
(1-t)P1 + tP2
• Titik x pada
kurva
(1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
P0
P1
P2
(1-t)P0 + tP1
(1-t)P1 + tP2
(1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2
Ilustrasi: kurva kuadratik
Kurva Bezier Kubik
• Bila menggunakan 4 titik, kita dapat membentuk
kurva kubik
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
P0
P1
P2
P3
(1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2 + t3P3
Kurva Bezier Kubik
• Empat titik P0, P1, P2 and P3 dalam sebuah
bidang atau ruang 3 dimensi mendefinisikan
Kurva Bezier Kubik
• Kurva mulai dari P0 menuju ke P1 dan tiba
di P3 berdasarkan arah dari P2. Umumnya,
P1 dan P2 tidak dilewati; titik-titik ini hanya
menyediakan informasi arah kurva.
• Jarak P0 and P1 menentukan seberapa jauh
kurva bergerak ke arah P2 sebelum berbelok
ke P3.
• Dapat dirumuskan dengan persamaan :
Ilustrasi : Kurva Cubic
Ilustrasi: Fourth-order curve
• Bezier kubik didefinisikan dengan 4 titik
• Ada 2 titik ujung
– (x0,y0) – titik ujung awal
– (x3,y3) – titik ujung akhir/tujuan
• (x1,y1) dan (x2,y2) adalah titik kendali
(X2, Y2)
• Dua persamaan berikut mendefinisikan
titik-titik pada kurva. Nilai t antara 0
sampai 1
• Nilai t semakin meningkat, titik yang
didefinisikan oleh x(t) dan y(t) bergerak
dari titik awal menuju titik tujuan
• x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + x0
• y(t) = ayt3 + byt2 + cyt + y0
x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + x0
x1 = x0 + cx / 3
x2 = x1 + (cx + bx) / 3
x3 = x0 + cx + bx + ax
y(t) = ayt3 + byt2 + cyt + y0
y1 = y0 + cy / 3
y2 = y1 + (cy + by) / 3
y3 = y0 + cy + by + ay
cx = 3 (x1 - x0)
bx = 3 (x2 - x1) – cx
ax = x3 - x0 - cx - bx
cy = 3 (y1 - y0)
b= 3 (y- y) – c(X2, Y2)
cx = 3 (105 - 140) = -105
bx = 3 (281 - 105) – (-105) = 633
ax = 375 - 140 - (-105) - 633 = -293
cy = 3 (42 - 262) = -660
by = 3 (30 - 42) – (-660) = 624
ay = 181 - 262 - (-660) - 624 = -45
(X2, Y2)